INDEPENDIENTE
Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede, o no, tener un efecto en el resultado
del segundo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes. En esta sección examinaremos
los eventos que son estadísticamente independientes, es decir, aquellos en donde la presentación
de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro. Existen tres
tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística:
1. Marginal.
2. Conjunta.
3. Condicional.
Probabilidades marginales bajo condiciones de independencia estadística
Como lo explicamos antes, una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple
de presentación de un evento. En el lanzamiento de una moneda no cargada, P(cara) = 0.5 y
P(cruz)=0.5, esto es, la probabilidad de obtener cara es igual a 0.5 y la probabilidad de obtener cruz
es igual a 0.5. Esto es cierto para cada lanzamiento, no importa cuántas veces se lance la moneda o
cuáles hayan sido los resultados anteriores. Cada lanzamiento de la moneda es único y no hay manera
de conectarlo con ningún otro. En consecuencia, el resultado de cada lanzamiento de una moneda
es un evento estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de
ella.
Imagine que tenemos una moneda que ha sido alterada de tal modo que en el 90% de los lanzamientos
se obtengan caras y en el restante 10% se obtengan cruces. En cada lanzamiento individual,
P(cara) = 0.90 y P(cruz) = 0.10. El resultado de cualquier lanzamiento particular no está relacionado
en lo absoluto con los resultados de lanzamientos previos o futuros. También los resultados de varios
lanzamientos de esta moneda son estadísticamente independientes, aunque esté cargada.
Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística
La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto
de sus probabilidades marginales. Matemáticamente lo escribimos como:
en la que:
• P(AB) = probabilidad de que los eventos A y B se presenten juntos o en sucesión; se le conoce
como probabilidad conjunta
• P(A) = probabilidad marginal de que se presente el evento A
• P(B) = probabilidad marginal de que se presente el evento B.
En términos del ejemplo de la moneda no cargada, la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos
sucesivos es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento (que llamaremos
H1) multiplicada por la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento (H2). Es decir,
P(H1H2) = P(H1) = P(H2). Hemos mostrado que los eventos son estadísticamente independientes
porque la probabilidad de cualquier resultado no se ve afectada por ninguno de los resultados anteriores.
Por consiguiente, la probabilidad de obtener cara en cualquier lanzamiento es de 0.5, y
P(H1H2) = 0.5 = 0.5 = 0.25. Por tanto, la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos
es de 0.25.
Del mismo modo, la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos consecutivos es
P(H1H2H3) = 0.5 = 0.5 = 0.5 = 0.125.
Suponga a continuación que vamos a lanzar una moneda alterada que tiene P(cara) = 0.8 y
P(cruz) = 0.2. Los eventos (resultados) son independientes, pues las probabilidades en cualquier lanzamiento
son iguales siempre: los lanzamientos individuales están completamente separados y no
afectan de ninguna manera a ningún otro resultado o lanzamiento. Suponga que nuestra pregunta es,
“¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos sucesivos? Utilizamos la ecuación
y se obtiene que:
P(H1H2H3) = P(H1) * P(H2) * P(H3) = 0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.512
Preguntémonos ahora la probabilidad de obtener tres cruces (que indicaremos con la literal T) en tres
lanzamientos consecutivos:
P(T1T2T3) = P(T1) * P(T2) * P(T3) = 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.008
Observe que estas dos probabilidades no suman 1, debido a que los eventos H1H2H3 y T1T2T3 no
constituyen una lista colectivamente exhaustiva. Son mutuamente excluyentes, porque si uno de
ellos se presenta, los otros no.
Podemos hacer todavía más explícitas las probabilidades de los eventos si utilizamos un árbol de
probabilidad. En la figura se presenta un árbol de probabilidad que muestra los resultados posibles
y su respectiva probabilidad para un lanzamiento de una moneda no cargada.
Probabilidades condicionales bajo independencia estadística
Hasta este punto, hemos considerado dos tipos de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta. Simbólicamente, la probabilidad marginal es P(A) y la probabilidad conjunta es P(AB). Además de estas dos, existe otro tipo de probabilidad, conocido como probabilidad condicional. Simbólicamente, la probabilidad condicional se escribe como:
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer
evento (A) ya ha ocurrido. Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado es simplemente la probabilidad del evento B:
A primera vista, esto parecería ser contradictorio. Recuerde, sin embargo, que por definición, un
evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocurrencia del resto de los eventos. De hecho, la independencia estadística se define simbólicamente como la condición en la cual se cumple que P(B|A) = P(B).
Podremos entender mejor la probabilidad condicional si resolvemos un problema ilustrativo.
Nuestra pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se
obtenga cara, dado que el resultado del primero fue cara? Simbólicamente, lo anterior se escribe
como P(H1 |H2). Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento
no tiene absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de obtener
cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento, la probabilidad de obtener
cara en el segundo lanzamiento es de 0.5. Por tanto, debemos decir que P(H1 |H2) = 0.5.
DEPENDIENTE
La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento depende
o se ve afectada por la presentación de algún otro. Exactamente igual que con los eventos
dependientes, los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son:
1. Condicional.
2. Conjunta.
3. Marginal.
Probabilidad condicional bajo dependencia estadística
Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más
complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Analizaremos primero las
probabilidades condicionales, debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si
utilizamos la probabilidad condicional como base.
Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la siguiente manera:
• Tres son de color y tienen puntos
• Una es de color y tiene franjas
• Dos son grises y tienen puntos
• Cuatro son grises y tienen franjas
La probabilidad de sacar cualquiera de las bolas es de 0.1, ya que existen 10 bolas con igual probabilidad de ser elegidas.
Ejemplo: Suponga que una persona saca de la caja una bola de color, ¿cuál es la probabilidad de
que ésta tenga puntos? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas?
Solución Esta pregunta puede expresarse simbólicamente como P(D|C) o ¿cuál es la probabilidad
condicional de que la bola tenga puntos (D), dado que es de color (C)?
Se nos ha dicho que la bola que se sacó es de color. Por tanto, para calcular la probabilidad de que
tenga puntos, ignoraremos a todas las bolas grises y nos concentraremos exclusivamente en las de
color. A partir del planteamiento del problema, sabemos que hay cuatro bolas de color, tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas. Para hacerlo dividimos el
número de bolas de cada categorías entre el número total de bolas de color.
En otras palabras, tres cuartos de las bolas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. Así pues,
la probabilidad de sacar una bola con puntos, dado que ésta es de color, es de 0.75. De forma parecida,
la probabilidad de obtener una bola con franjas, dado que ésta es de color, es de 0.25.
Ahora podemos ver cómo nuestro razonamiento nos permitirá desarrollar una fórmula para calcular
la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. Primero, podemos asegurarnos a nosotros
mismos que tales eventos son estadísticamente dependientes si observamos que el color de las
bolas determina la probabilidad de que éstas tengan puntos o franjas. Por ejemplo, es más probable
que una bola gris tenga franjas que una bola de color. Como el color afecta la probabilidad de que la
bola tenga puntos o franjas, estos eventos son dependientes.
Para calcular la probabilidad de obtener una bola con puntos dado que es de color, P(D|C), dividimos
la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (tres de 10, es decir 0.3) entre la
probabilidad de que la bola sea de color (cuatro de 10, es decir, 0.4):
Expresada como una fórmula general y utilizando las letras A y B para representar los dos eventos,
la ecuación queda:
Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística
Hemos mostrado que la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística
es:
Si de esta ecuación despejamos P(BA) mediante una multiplicación, obtendremos la fórmula para la
probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística:
Observe que esta fórmula no es P(BA) = P(B)* P(A), como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística.
Aplicando la fórmula general P(BA) = P(B|A) * P(A) a nuestro ejemplo y en términos de bolas
de color (C), grises (G), con puntos (D) y con franjas (S), tendremos P(CD) = P(C|D) * P(D) o
P(CD) = 0.6 * 0.5 = 0.3. Aquí, 0.6 es la probabilidad de obtener una bola de color, dado que ésta
tiene puntos (calculada en el ejemplo 3 anterior) y 0.5 es la probabilidad de obtener una bola con
puntos (también calculada en el ejemplo 3).
El resultado, P(CD) = 0.3, puede verificarse, en la que llegamos a la probabilidad
por inspección: tres bolas de 10 son de color y con puntos.
Las probabilidades conjuntas siguientes están calculadas de la misma manera y se pueden comprobar
Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística
Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma
de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. En
el ejemplo anterior, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la
suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color:
De manera parecida, la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris:
Igualmente, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la suma
de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos:
Y, por último, la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la suma
de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas:
Referencias: Levin - Rubin -Balderas - Del Valle - Gomez, 2004, Estadística para Economía y Administración, Mexico, Prentice Hall.
No hay comentarios:
Publicar un comentario