TÉCNICAS DE CONTEO
Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar fácilmente. Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento, tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder enumerarlos, sino saber contarlos. Cuando se tienen N objetos, al escoger al azar uno o más de ellos, interesa calcular la probabilidad de cada elección. Escoger al azar un objeto de los N disponibles, significa que cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido: P(r)= 1/ N. Escoger al azar dos objetos de los N, significa que cada posible par de objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro par; si existen k pares diferentes, entonces la probabilidad es P(r1 r2)=1/ k. Y escoger n objetos de los N, significa que cada posible conjunto de n objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otra conjunto de n objetos.
La siguiente formula expresa mas a detalle lo anterior dicho:
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 n2 maneras diferentes. Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r acciones se pueden realizar de n1 n2 ...nr maneras diferentes.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Ejemplo: PLACAS. Las placas para automóvil en la CDMX están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer? Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10* 10* 10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa. La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26* 26* 26 = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: 999 * 17,576 = 17’558,424.
PRINCIPIO ADITIVO
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas.
Ejemplo: Un estudiante que está terminando su bachillerato, debe decidir si estudia en el Tecnológico o en la Universidad. Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá que decidir si estudia Ing. en Sistemas Computacionales, Ing. Mecánica o Ing. Electrónica. Si decide estudiar en la Universidad, tendrá que decidir si estudia Ing. Civil, Ing Mecatrónica, Ing. Química o Licenciado en Física. ¿Cuántas opciones tiene para elegir su carrera?
Solución: Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá 3 opciones, pero si decide estudiar en la Universidad, tendrá 4 opciones. Aplicando el Principio Aditivo, obtenemos 3 + 4 = 7 opciones, considerando que no puede estudiar 2 carreras al mismo tiempo.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas.
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser
llevados a efecto, uno tras otro.
Ejemplo: Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Solución: Considerando que:
r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
NOTACIÓN FACTORIAL
El factorial de un número es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el número dado n, inclusive. Notación: n! 1*2*3*...(n-2)*(n-1)*n.
En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como:
4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.
Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define como:
4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee cuatro factorial
3 x 2 x 1 = 3! Se lee tres factorial
En términos generales: (n-1)(n-2)«x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”
Ejemplo: Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física,
a) ¿De cuantas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?
P(15)=15!=1,307,674,368,00 maneras.
b) ¿De cuantas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos?
El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es: P(3)=3!=6. Los 6 libros de maticas se pueden permutar de P(6)=6!=720 maneras; los 4 libros de química se pueden permutar de P(4)=4!=24 maneras; los 5 libros de física se pueden permutar de P(5)=5!=120 maneras.
Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se pueden colocar los 15 libros en el librero, haciendo que los de cada materia queden juntos es:
P3(P6P4P5)=3!6!4!5!=6*720*24*120=12,441,600 maneras.PERMUTACIONES
Permutación es una noción que proviene del latín permutatio. El término refiere al procedimiento y el resultado de permutar. Este verbo, por su parte, hace mención al canje de una cosa por otra, sin la intermediación de dinero a menos que se busque equiparar el valor de los objetos permutados. La noción de permutación es habitual en el campo de la matemática. En este caso, la idea menciona a los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto no infinito.
Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos. Puede considerarse como una función de tipo biyectiva dentro del conjunto, ya que señala distintas correspondencias entre los elementos.
Ejemplo: El conjunto {5,6,7} puede ordenarse de diferentes formas, dando lugar a varias permutaciones. En concreto, este conjunto permite seis permutaciones: {5,6,7}, {5,7,6}, {7,5,6}, {7,6,5}, {6,5,7}, {6,7,5} y {5,6,7}.
COMBINACIONES
Se llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difiere en uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden. Notación: r Cn Para calcular el número de combinaciones de r objetos que se pueden formar con los n objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de r objetos, existen r! ordenaciones equivalentes de r objetos; en efecto, cada combinación de r objetos se puede permutar de r! maneras diferentes, generando r! ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones de n objetos de orden r, entre las permutaciones de r objetos para obtener las combinaciones de n objetos de orden:
Ejemplo: ¿Cuántas manos diferentes le pueden
tocar a un jugador de poker?
Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende,
en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para
efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo
sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la
segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser
cualquiera de las 48 que quedan.
El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite
la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar
todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o
independientes.
El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a
efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda
realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos,
que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas
ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción,
considerando la manera en que se realiza la primera. Y así, sucesivamente.
Ejemplo: Considere el experimento consistente en lanzar
una moneda tres veces consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda
hacia arriba.
La primera vez que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede
ser águila o sol; la segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia
arriba puede ser águila o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez;
lo mismo puede ocurrir la tercera vez que se lanza la moneda. Entonces, el
diagrama de árbol correspondiente es:
El número de maneras en que puede caer la moneda tres veces consecutivas
es: 2*2*2 = 8
TEOREMA DEL BINOMIO
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de 
: Por multiplicación directa podemos obtener:
: Por multiplicación directa podemos obtener:
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:
- Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
- Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con
y termina con 
. En cada término los exponentes de a y b suman n. - Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La baparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
- El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de
Ejemplo: Desarrollar por el teorema del binomio: 
Solución:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
efectuando las potencias, se tiene:
efectuando los productos:
Referencias:
---> Morales Ramón, sábado, 26 de mayo de 2012, Probabilidad y Estadística, Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/11-principio-aditivo.html
---> Titulo Recuperado de: http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf
---> Vargas, 2010, Titulo Recuperado de: https://jrvargas.files.wordpress.com/2010/07/principio-multiplicativo.pdf
---> Definición Recuperada de: http://definicion.de/permutacion/
---> Morales Ramón, sábado, 26 de mayo de 2012, Probabilidad y Estadística, Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/13-notacion-factorial.html
---> Gonzales Sanchez, 2005, Teorema del Binomio, Recuperado de: http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_bin.htm
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