FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas |

AXIOMAS

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.


1.-Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un n´umero P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dar´a una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra.  Para cualquier evento A, P(A) ≥ 0.
 P(S) = 1.
 Si A1, A2, . . . es un conjunto de eventos mutuamente excluyentes (es decir Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j), entonces P(A1 ∪ A2 ∪ · · ·) = Σ P(Ai)
2.- P(∅) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la Demostración: Tome cada Ai = ∅, as´ı nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto: P(∅) = P(∪∞ i=1Ai)
3.- Para cualquier evento A, P(A) + P(A 0 ) = 1.
4.- Para cualquier evento A, P(A) ≤ 1.
5.- Para dos eventos A y B cualquiera, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Ejemplo: Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
           E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
2) La primera bola no se devuelve.
           E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

DEMOSTRACIÓN: Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LCQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, A^c debe ser, p(A^c)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN: Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A^c luego d=AÈA^c, por tanto p(d)=p(A) + p(A^c) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(A^c)= 1 - p(A) .LCQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LCQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LCQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN: Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).  LCQD

Referencias: 
---> Morales Ramón, lunes, 4 de junio de 2012, Probabilidad y Estadistica, Recuperado de:http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/23-probabilidad-con-tecnicas-de-conteo.html
--->  Ejemplo Recuperado de: http://www.vitutor.com/pro/2/b_3.html
--->  Ejemplo Recuperado de: http://www.vitutor.com/pro/2/a_e.html
--->  Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad, Recuperado de: http://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/ma2006-1/recursos/ma2006-02.pdf