FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD |Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión, intersección, diagramas de Venn|

PROBABILIDAD DE EVENTOS

Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral. Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1,2,3,4,5 y 6. Ademas, debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada sera igual a uno:

                                          P(1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6)=1  

Eventos independientes:  son los eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro. Algunos ejemplos incluyen el resultado de un lanzamiento de una moneda y de un dado. El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta al dado. Dos lanzamientos de una moneda también son eventos independientes.

Eventos complementarios: son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir. Si un evento A es lanzar un numero par con un dado (2,4 o 6), el complemento es lanzar un numero impar (1,3 o 5). Si no se obtiene un numero par, debe obtener un numero impar. El complemento de A se escribe como A y se denomina "no A".

Claro que los eventos complementarios tambien son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, A debe ocurrir, por tanto: 

                                          P(A)+P(A^)=1

y

                                         P(A)=1-P(A^)

ESPACIO MUESTRAL

El conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado experimento aleatorio se denomina Espacio Muestral asociado a dicho experimento y se suele representar por Ω. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales.

Así por ejemplo, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}; el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo Cara y Cruz los sucesos elementales asociados al primer experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos elementales del segundo experimento aleatorio.

A pesar de la interpretación que tiene el espacio muestral, no es más que un conjunto abstracto de puntos (los sucesos elementales), por lo que el lenguaje, los conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos constituyen un contexto natural en el que desarrollar el Cálculo de Probabilidades.

Sea A el conjunto de las partes de , es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω. En principio, cualquier elemento de A, es decir, cualquier subconjunto del espacio muestral contendrá una cierta incertidumbre, por lo que trataremos de asignarle un número entre 0 y 1 como medida de su incertidumbre. En Cálculo de Probabilidades dichos subconjuntos reciben en el nombre de sucesos, siendo la medida de la incertidumbre su probabilidad. La tripleta (Ω,A,P) recibe el nombre de espacio probabilístico.

Por tanto, asociado a todo experimento aleatorio existen tres conjuntos: El espacio muestral , la clase de los sucesos, es decir, el conjunto de los elementos con incertidumbre asociados a nuestro experimento aleatorio A, y una función real, P:A[0, l], la cual asignará a cada suceso (elemento de A) un número entre cero y uno como medida de su incertidumbre.

Advertimos no obstante, que la elección del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio no tiene por qué ser única, sino que dependerá de que sucesos elementales queramos considerar como distintos y del problema de la asignación de la probabilidad sobre esos sucesos elementales.

 Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.

Podemos considerar como espacio muestral

       Ω1= {ω1, ω2, ω3}

en donde sea ω1 = bola roja, ω2= bola blanca y ω3 = bola verde, aunque también podíamos haber considerado como espacio muestral el conjunto

Ω1= {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}

en donde ωi = bola roja, i = 1,2,3, ωi = bola blanca, i= 4,5 y ω6= bola verde, haciendo las bolas distinguibles.

Ambos pueden ser considerados espacios muéstrales del experimento descrito, eligiendo el que más nos convenga, por ejemplo, a la hora de asignar la probabilidad a los sucesos elementales de uno u otro espacio muestral.

Probabilidad de la unión de sucesos

Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son compatibles o incompatibles.

La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:

La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:

Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles:

,

 por lo que la segunda fórmula siempre es cierta.

Probabilidad de la intersección de sucesos

Para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos, debemos primero comprobar si son dependientes o independientes.

La probabilidad de la intersección de sucesos independientes es:

La probabilidad de la intersección de sucesos dependientes es:

Fijémonos que cuando los sucesos son independientes:

 por lo que la segunda fórmula en realidad siempre es cierta.

DIAGRAMAS DE VENN

La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral se puede ilustrar de forma gráfica utilizando diagramas de Venn. en un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo.

En la figura vemos que:

A ∩ B = regiones 1 y 2,

B ∩ C = regiones 1 y 3,

A U C = regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 7,

B' ∩ A = regiones 4 y 7,

A ∩ B ∩ C = región 1,

(A U B) ∩ C' = regiones 2, 6 y 7,

y así sucesivamente.

Ls figura puede representar una situación donde seleccionamos una carta al azar de una baraja ordinaria de 52 cartas y observamos si ocurren los siguientes eventos:

A: la carta es roja,

B: la carta es el jack, la reina o el rey de diamantes,

C: la carta es un as.

El evento A ∩ C consiste sólo en los dos ases rojos.

Varios resultados que se derivan de las definiciones procedentes, y que se pueden verificar de forma sencilla empleando diagramas de Venn, son los que siguen:

A ∩ ø = ø

A U ø = A

A ∩ A' = ø

A U A' = S

S' = ø

ø' = S

(A')' = A

(A ∩ B)' = A U B

(A U B )' = A' ∩ B'

Referencias:
---> Sangaku S.L. (2017) Probabilidad de la unión e intersección de sucesos. sangakoo.com. Recuperado de http://www.sangakoo.com/es/temas/probabilidad-de-la-union-e-interseccion-de-sucesos
---> Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/probab1.html
---> Castillo, 2008, Probabilidad y Estadistica, Recuperado de: http://probyestjevp.blogspot.mx/2008/10/diagrama-de-venn.html
---> L. Webster, 2000, Estadística Aplicada a los negocios y la economía (tercera edición), Colombia, Mc Grawll-Hill