FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD |Teoría elemental de probabilidad|

DEFINICIÓN CLÁSICA

Probabilidad: La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Experimento: Un Experimento es todo un proceso complejo en el que se emplean medidas y se realizan pruebas para comprobar y estudiar algún proceso antes de ejecutarlo por completo, en un experimento se realizan todo tipo de estudios, a fin de constatar la funcionalidad del objeto en estudio. Teorías e hipótesis nacen a partir de los experimentos que se realizan entorno a una premisa. Los experimentos son de vital importancia en el campo científico, son parte esencial de los estudios que se realizan en un laboratorio, su significado del latín que proviene el “Poner a prueba” por lo que nos sujetaremos de esa clausula para desplegar un concepto preciso.

 CLASES DE EXPERIMENTOS

En la vida cotidiana se pueden encontrar dos clases de fenómenos o experimentos:

 Determmísticos: Al realizarlos bajo las mismas condiciones generales, presentan siempre el mismo resultado.

 Aleatorios: Aún cuando se observen bajo las mismas condiciones y se conozcan los posibles resultados ninguno se puede anticipar con certeza.

Los primeros se relacionan con la causalidad que implica conocimiento y control de los factores

que determinan el comportamiento del fenómeno.

Los segundos obedecen a factores de casualidad o del azar además de los causales, pero con la

imposibilidad de controlarlos debido al desconocimiento de las causas.

Algunos aseguran que todo fenómeno posee los dos tipos de factores, pero que en ciertos casos

la importancia de los casuales es tan poca que se considera despreciable y se acepta entonces el

determinismo absoluto. 

Ejemplos

Determmísticos:

1 Leyes gravitacionales (un cuerpo baja en ciertas condiciones). 

2 Leyes de Kepler (comportamiento de los planetas). 

3 Al quemar un hidrocarburo como el gas propano en presencia del  oxígeno, se produce gas carbónico más agua. 

4 Se hace actuar sobre un cuerpo de un kg. de masa una fuerza de un Newton, se obtiene una aceleración de un metros/segundo^2

Aleatorios:

5 Seleccionar de un lote un artículo para conocer su calidad.

6 El querer determinar la cantidad de lluvia que caerá debido a una tormenta  que pasa por una zona específica, el origen de la tormenta, la dirección de la tormenta, etc. 

7 La velocidad de una partícula en un ambiente determinado.

8 La amplitud y la fase de la intensidad de la luz emitida por una fuente.

9 El resultado de un partido de fútbol. 

10 El número de llamadas telefónicas por minuto, la duración de cada llamada. 

11 La intensidad del ruido de un sistema de comunicación. 

12 La resistencia mínima de un conjunto de resistencias en una línea de producción

Resultado: Se sabe que es un nombre de efecto formado a partir del participio del verbo resultar y este a su vez proviene del latín resultare (saltar hacia atrás, rebotar, ser devuelto, etc.). En pocas palabras cuando hablamos de resultado no es más que un efecto o la consecuencia de un hecho.

Evento: Conjunto de uno o mas resultados de un experimento.

DEFINICIÓN DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

 Supongamos que un suceso E tiene h posibilidades de ocurrir entre un total de n posibilidades, cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás. Entonces, la probabilidad de que ocurra E (0 sea un éxito) se denota por:

                                  p = Pr{E} h /n
La probabilidad de que no ocurra E (0 sea, un fracaso) se denota por:
                            q = Pr{no E} =(n-h)/n = 1 -(h/n) = 1 -p = 1 - Pr{E}
Asi pues, p + q = 1, es decir, Pr{E} + Pr{no E} = 1. El suceso «no E» se denotara por E, Eo~E.

Ejemplo: Sea ¿sel evento en que al lanzar un dado una vez se obtenga un 3 o un 4. Existen seis formas en que el dado puede caer, siendo éstas las caras 1,2, 3,4, 5 o 6; si el dado es bueno (es decir, no está cargado), se supone que las 6 caras tienen la misma probabilidad de ocurrir. Puesto que E puede ocurrir en dos de estas maneras, entonces:

                                  p = Pr{£} =1 = 3.

 La probabilidad de no obtener un 3 o un 4 (es decir, obtener 1, 2, 5 o 6) es q = Pr{£) = 1 - i = f. Obsérvese que la probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1. Si el evento no llega a suceder, su probabilidad es 0. Si debe ocurrir (es decir, si su ocurrencia es una certeza), su probabilidad es 1. Si p es la probabilidad de que un evento ocurra, las probabilidades a favor de su ocurrencia son p : q (léase "p a q"); las probabilidades en contra de su ocurrencia son q : p. Así. las probabilidades en contra de la ocurrencia de un 3 o un 4 en un solo lanzamiento de un dado bueno son q : p = § : 3 = 2 : 1 (es decir, de 2 a 1).

Referencias:
---> 2014, Definición de Probabilidad, Recuperado de: http://conceptodefinicion.de/probabilidad/
---> Distribuciones de Probabilidad,Teoría elemental de la Probabilidad Capitulo 6
---> 2014, Definición de Resultado, Recuperado de: http://conceptodefinicion.de/resultado/

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Ley Multiplicativa |

LEY MULTIPLICATIVA

Esta regla concierne a la probabilidad de dos eventos sucediendo al mismo tiempo. Si los eventos son INDEPENDIENTES –i.e. no ejercen influencias entre si- entonces la probabilidad de que sucedan los dos es igual al producto de sus respectivas probabilidades.

p(A Ç B) = p(A)*p(B) 

Esta es una ley simple que puede ser aceptada en forma intuitiva. Esta ley no es válida para eventos que son dependientes entre si, lo que es sujeto de Probabilidad condicional y Teorema de Bayes.

Al introducirse en el tema por primera vez, se pueden generar confusiones entre los términos “excluyentes” e “independientes”. Su significado es completamente distinto y son bastante incompatibles en el sentido que dos eventos no pueden ser excluyentes e independientes al mismo tiempo. Si dos eventos son excluyentes, entonces la ocurrencia de uno determina la ocurrencia del otro, teniendo un muy fuerte efecto, siendo ciertamente dependientes.

Al multiplicar la formula P(B/A) =P( A Ç B)/ P(A) por P( A); obtenemos la siguiente regla multiplicativa, esta es importante por que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.
Teorema: si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P( A Ç B)= P( A) P(B/A). así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A.
Ø  Si los eventos A y B son dependientes:

Ø  Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 1: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo),  a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.

A: El primer artículo está en buen estado.

B: El segundo artículo está en buen estado.

a)

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

Referencias: 

---> P Dapena, Clase 2, Titulo Recuperado de: http://www.ucema.edu.ar/u/jd/Metodos/Clases/Clase2.pdf

--->Morales Ramón, sábado, jueves, 7 de junio de 2012, Probabilidad y Estadística, Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/25-ley-multiplicativa.html

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas |

AXIOMAS

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.
Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.


1.-Dados un experimento y su espacio muestral S, el objetivo de la Probabilidad es asignar a cada evento A un n´umero P(A) llamado la probabilidad del evento A el cual dar´a una medida precisa de la oportunidad de que el evento A ocurra.  Para cualquier evento A, P(A) ≥ 0.
 P(S) = 1.
 Si A1, A2, . . . es un conjunto de eventos mutuamente excluyentes (es decir Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j), entonces P(A1 ∪ A2 ∪ · · ·) = Σ P(Ai)
2.- P(∅) = 0. Es decir, no hay oportunidad de que no ocurra ningún resultado. Recuerde que la Demostración: Tome cada Ai = ∅, as´ı nuestra colección de conjuntos es mutuamente excluyente. Por tanto: P(∅) = P(∪∞ i=1Ai)
3.- Para cualquier evento A, P(A) + P(A 0 ) = 1.
4.- Para cualquier evento A, P(A) ≤ 1.
5.- Para dos eventos A y B cualquiera, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Ejemplo: Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
           E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
2) La primera bola no se devuelve.
           E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

DEMOSTRACIÓN: Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LCQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, A^c debe ser, p(A^c)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN: Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y A^c luego d=AÈA^c, por tanto p(d)=p(A) + p(A^c) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(A^c)= 1 - p(A) .LCQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN: Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LCQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LCQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN: Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).  LCQD

Referencias: 
---> Morales Ramón, lunes, 4 de junio de 2012, Probabilidad y Estadistica, Recuperado de:http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/06/23-probabilidad-con-tecnicas-de-conteo.html
--->  Ejemplo Recuperado de: http://www.vitutor.com/pro/2/b_3.html
--->  Ejemplo Recuperado de: http://www.vitutor.com/pro/2/a_e.html
--->  Sistemas Aleatorios: Axiomas de Probabilidad, Recuperado de: http://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/ma2006-1/recursos/ma2006-02.pdf

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD |Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión, intersección, diagramas de Venn|

PROBABILIDAD DE EVENTOS

Los eventos colectivamente exhaustivos constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral. Los eventos colectivamente exhaustivos de lanzar un dado son 1,2,3,4,5 y 6. Ademas, debido a que existe la certeza de que uno de estos eventos ocurrirá, su probabilidad combinada sera igual a uno:

                                          P(1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6)=1  

Eventos independientes:  son los eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro. Algunos ejemplos incluyen el resultado de un lanzamiento de una moneda y de un dado. El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta al dado. Dos lanzamientos de una moneda también son eventos independientes.

Eventos complementarios: son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir. Si un evento A es lanzar un numero par con un dado (2,4 o 6), el complemento es lanzar un numero impar (1,3 o 5). Si no se obtiene un numero par, debe obtener un numero impar. El complemento de A se escribe como A y se denomina "no A".

Claro que los eventos complementarios tambien son colectivamente exhaustivos, porque si A no ocurre, A debe ocurrir, por tanto: 

                                          P(A)+P(A^)=1

y

                                         P(A)=1-P(A^)

ESPACIO MUESTRAL

El conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado experimento aleatorio se denomina Espacio Muestral asociado a dicho experimento y se suele representar por Ω. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales.

Así por ejemplo, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}; el espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo Cara y Cruz los sucesos elementales asociados al primer experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos elementales del segundo experimento aleatorio.

A pesar de la interpretación que tiene el espacio muestral, no es más que un conjunto abstracto de puntos (los sucesos elementales), por lo que el lenguaje, los conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos constituyen un contexto natural en el que desarrollar el Cálculo de Probabilidades.

Sea A el conjunto de las partes de , es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de Ω. En principio, cualquier elemento de A, es decir, cualquier subconjunto del espacio muestral contendrá una cierta incertidumbre, por lo que trataremos de asignarle un número entre 0 y 1 como medida de su incertidumbre. En Cálculo de Probabilidades dichos subconjuntos reciben en el nombre de sucesos, siendo la medida de la incertidumbre su probabilidad. La tripleta (Ω,A,P) recibe el nombre de espacio probabilístico.

Por tanto, asociado a todo experimento aleatorio existen tres conjuntos: El espacio muestral , la clase de los sucesos, es decir, el conjunto de los elementos con incertidumbre asociados a nuestro experimento aleatorio A, y una función real, P:A[0, l], la cual asignará a cada suceso (elemento de A) un número entre cero y uno como medida de su incertidumbre.

Advertimos no obstante, que la elección del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio no tiene por qué ser única, sino que dependerá de que sucesos elementales queramos considerar como distintos y del problema de la asignación de la probabilidad sobre esos sucesos elementales.

 Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.

Podemos considerar como espacio muestral

       Ω1= {ω1, ω2, ω3}

en donde sea ω1 = bola roja, ω2= bola blanca y ω3 = bola verde, aunque también podíamos haber considerado como espacio muestral el conjunto

Ω1= {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}

en donde ωi = bola roja, i = 1,2,3, ωi = bola blanca, i= 4,5 y ω6= bola verde, haciendo las bolas distinguibles.

Ambos pueden ser considerados espacios muéstrales del experimento descrito, eligiendo el que más nos convenga, por ejemplo, a la hora de asignar la probabilidad a los sucesos elementales de uno u otro espacio muestral.

Probabilidad de la unión de sucesos

Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son compatibles o incompatibles.

La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:

La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:

Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles:

,

 por lo que la segunda fórmula siempre es cierta.

Probabilidad de la intersección de sucesos

Para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos, debemos primero comprobar si son dependientes o independientes.

La probabilidad de la intersección de sucesos independientes es:

La probabilidad de la intersección de sucesos dependientes es:

Fijémonos que cuando los sucesos son independientes:

 por lo que la segunda fórmula en realidad siempre es cierta.

DIAGRAMAS DE VENN

La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral se puede ilustrar de forma gráfica utilizando diagramas de Venn. en un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del rectángulo.

En la figura vemos que:

A ∩ B = regiones 1 y 2,

B ∩ C = regiones 1 y 3,

A U C = regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 7,

B' ∩ A = regiones 4 y 7,

A ∩ B ∩ C = región 1,

(A U B) ∩ C' = regiones 2, 6 y 7,

y así sucesivamente.

Ls figura puede representar una situación donde seleccionamos una carta al azar de una baraja ordinaria de 52 cartas y observamos si ocurren los siguientes eventos:

A: la carta es roja,

B: la carta es el jack, la reina o el rey de diamantes,

C: la carta es un as.

El evento A ∩ C consiste sólo en los dos ases rojos.

Varios resultados que se derivan de las definiciones procedentes, y que se pueden verificar de forma sencilla empleando diagramas de Venn, son los que siguen:

A ∩ ø = ø

A U ø = A

A ∩ A' = ø

A U A' = S

S' = ø

ø' = S

(A')' = A

(A ∩ B)' = A U B

(A U B )' = A' ∩ B'

Referencias:
---> Sangaku S.L. (2017) Probabilidad de la unión e intersección de sucesos. sangakoo.com. Recuperado de http://www.sangakoo.com/es/temas/probabilidad-de-la-union-e-interseccion-de-sucesos
---> Recuperado de: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/probab1.html
---> Castillo, 2008, Probabilidad y Estadistica, Recuperado de: http://probyestjevp.blogspot.mx/2008/10/diagrama-de-venn.html
---> L. Webster, 2000, Estadística Aplicada a los negocios y la economía (tercera edición), Colombia, Mc Grawll-Hill

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Técnicas de conteo |

TÉCNICAS DE CONTEO

Cuando el número de posibles resultados de un experimento es finito, su espacio muestral es finito y su cardinal es un número natural. Si el experimento es simple, el espacio muestral es unidimensional, constituido por puntos muestrales con una sola componente, y el cardinal es simplemente el número de posibles resultados del experimento, los que se pueden enumerar fácilmente. Pero si el experimento es combinado, el cardinal puede ser tan grande, que sería del todo absurdo pretender enumerarlos todos, por ser un proceso lento, tedioso, costoso y susceptible de errores. Y realmente no es importante poder enumerarlos, sino saber contarlos. Cuando se tienen N objetos, al escoger al azar uno o más de ellos, interesa calcular la probabilidad de cada elección. Escoger al azar un objeto de los N disponibles, significa que cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido: P(r)= 1/ N.   Escoger al azar dos objetos de los N, significa que cada posible par de objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro par; si existen k pares diferentes, entonces la probabilidad es P(r1 r2)=1/ k. Y escoger n objetos de los N, significa que cada posible conjunto de n objetos, sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otra conjunto de n objetos.

La siguiente formula expresa mas a detalle lo anterior dicho: 

Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de n1 n2 maneras diferentes. Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r acciones se pueden realizar de n1 n2 ...nr maneras diferentes.

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de  todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Ejemplo: PLACAS. Las placas para automóvil en  la CDMX  están formadas por 6 caracteres: los tres primeros son dígitos y los tres últimos son letras del alfabeto. ¿Cuántas placas diferentes se pueden hacer? Primero vamos a analizar los dígitos: el primero se puede escoger de 10 maneras diferentes, el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras; así que, el número de maneras en que se puede formar la primera parte de la placa es: 10* 10* 10 = 1000. Ahora bien, si se considera que el arreglo 000 no es válido, entonces habrá que restarle 1 al valor obtenido, con lo que quedan 999 maneras en que se puede formar la primera parte de la placa. La segunda parte de la placa se forma con tres letras: la primera se puede escoger de 26 maneras diferentes (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z), la segunda de 26 maneras y la tercera de 26 maneras; así que el número de maneras en que se puede formar la segunda parte de la placa es: 26* 26* 26 = 17,576. Finalmente, el número total de placas diferentes que se pueden formar es: 999 * 17,576 = 17’558,424.

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de, M + N + .........+ W  maneras o formas.

Ejemplo:  Un estudiante que está terminando su bachillerato, debe decidir si estudia en el Tecnológico o en la Universidad. Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá que decidir si estudia Ing. en Sistemas Computacionales, Ing. Mecánica o Ing. Electrónica. Si decide estudiar en la Universidad, tendrá que decidir si estudia Ing. Civil, Ing Mecatrónica, Ing. Química o Licenciado en Física. ¿Cuántas opciones tiene para elegir su carrera? 

Solución: Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá 3 opciones, pero si decide estudiar en la Universidad, tendrá 4 opciones. Aplicando el Principio Aditivo, obtenemos 3 + 4 = 7 opciones, considerando que no puede estudiar 2 carreras al mismo tiempo.

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: 

 N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas.

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser

llevados a efecto, uno tras otro.

Ejemplo: Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? 

Solución: Considerando que:

 r = 4 pasos 

N1= maneras de hacer cimientos = 2 

N2= maneras de construir paredes = 3 

N3= maneras de hacer techos = 2 

N4= maneras de hacer acabados = 1 

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

NOTACIÓN FACTORIAL 

El factorial de un número es el producto consecutivo de todos los números enteros, desde el uno hasta el número dado n, inclusive. Notación: n! 1*2*3*...(n-2)*(n-1)*n.

En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 

4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.

Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define como:

4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee cuatro factorial

3 x 2 x 1 = 3! Se lee tres factorial

En términos generales: (n-1)(n-2)«x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”

Ejemplo:  Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física,

a) ¿De cuantas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?

                               P(15)=15!=1,307,674,368,00 maneras.

b) ¿De cuantas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de cada materia deben quedar juntos?

El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras en que se pueden permutar estos 3 objetos es: P(3)=3!=6. Los 6 libros de maticas se pueden permutar de P(6)=6!=720 maneras; los 4 libros de química se pueden permutar de P(4)=4!=24 maneras; los 5 libros de física se pueden permutar de P(5)=5!=120  maneras.

Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se pueden colocar los 15 libros en el librero, haciendo que los de cada materia queden juntos es: 

                               P3(P6P4P5)=3!6!4!5!=6*720*24*120=12,441,600 maneras.

PERMUTACIONES

Permutación es una noción que proviene del latín permutatio. El término refiere al procedimiento y el resultado de permutar. Este verbo, por su parte, hace mención al canje de una cosa por otra, sin la intermediación de dinero a menos que se busque equiparar el valor de los objetos permutados. La noción de permutación es habitual en el campo de la matemática. En este caso, la idea menciona a los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto no infinito.

Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos. Puede considerarse como una función de tipo biyectiva dentro del conjunto, ya que señala distintas correspondencias entre los elementos.

Ejemplo: El conjunto {5,6,7} puede ordenarse de diferentes formas, dando lugar a varias permutaciones. En concreto, este conjunto permite seis permutaciones: {5,6,7}, {5,7,6}, {7,5,6}, {7,6,5}, {6,5,7}, {6,7,5} y {5,6,7}.

COMBINACIONES

Se llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difiere en uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden. Notación: r Cn Para calcular el número de combinaciones de r objetos que se pueden formar con los n objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de r objetos, existen r! ordenaciones equivalentes de r objetos; en efecto, cada combinación de r objetos se puede permutar de r! maneras diferentes, generando r! ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones de n objetos de orden r, entre las permutaciones de r objetos para obtener las combinaciones de n objetos de orden:

Ejemplo: ¿Cuántas manos diferentes le pueden tocar a un jugador de poker?

 Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y así, sucesivamente.

Ejemplo: Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba. La primera vez que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede ser águila o sol; la segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia arriba puede ser águila o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez; lo mismo puede ocurrir la tercera vez que se lanza la moneda. Entonces, el diagrama de árbol correspondiente es:

El número de maneras en que puede caer la moneda tres veces consecutivas es: 2*2*2 = 8

TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de : Por multiplicación directa podemos obtener:

De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en su formación:

1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de  empieza con  y termina con . En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La baparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.

Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n  en el desarrollo de 

Ejemplo: Desarrollar  por el teorema del binomio: 

Solución:

Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,

efectuando las potencias, se tiene:

efectuando los productos:

Referencias: 

---> Morales Ramón, sábado, 26 de mayo de 2012, Probabilidad y Estadística, Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/11-principio-aditivo.html

---> Titulo Recuperado de: http://www.dcb.unam.mx/users/gustavorb/Probabilidad/PE13.pdf

---> Vargas, 2010, Titulo Recuperado de: https://jrvargas.files.wordpress.com/2010/07/principio-multiplicativo.pdf

---> Definición Recuperada de: http://definicion.de/permutacion/

--->  Morales Ramón, sábado, 26 de mayo de 2012, Probabilidad y Estadística, Recuperado de: http://probabilidadyestadisticaitsav.blogspot.mx/2012/05/13-notacion-factorial.html

--->  Gonzales Sanchez, 2005, Teorema del Binomio, Recuperado de: http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_bin.htm

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Teorema de Bayes |

TEOREMA DE BAYES

Al inicio de la temporada de béisbol, los seguidores del equipo ganador de la temporada anterior

creen que éste tiene buenas posibilidades de ganar nuevamente. Sin embargo, a poco del arranque de

temporada, el shortstop tiene que quedarse en la banca debido a una lesión y el principal rival del

equipo contrata a un gran bateador, famoso por sus cuadrangulares. El equipo campeón empieza a

perder. Casi al final de la temporada, sus seguidores se dan cuenta que deben cambiar sus anteriores

probabilidades de ganar.

Una situación similar se presenta en el ámbito de los negocios. Si la administradora de una boutique

encuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color púrpura y amarillas que pensó se

iban a vender muy bien, todavía están colgadas en los exhibidores, entonces tiene que revisar las probabilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta.

En ambos casos, ciertas probabilidades fueron alteradas después de que los interesados obtuvieron

información adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades revisadas o

posteriores. Como éstas pueden revisarse en la medida que hay más información, la teoría de probabilidad adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales.

El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se

atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). La fórmula básica para la probabilidad condicional

en circunstancias de dependencia.

se conoce como teorema de Bayes.

Bayes, de origen inglés, fue ministro presbiteriano y un matemático competente. Consideró la forma

en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba

acerca de él. En un intento por mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia... es la felicidad

de sus criaturas”, el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. Desafortunadamente,

las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que durante

su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la

teoría de decisiones moderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana.

El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y revisar

nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de

que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace innecesario

reunir grandes cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejores

decisiones, basadas en probabilidades.

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.
Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos da el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.
Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.
Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Referencias: 

---> Levin - Rubin -Balderas  - Del Valle - Gomez, 2004, Estadística para Economía y Administración, Mexico, Prentice Hall.

----> M Salinas, Teorema de Bayes, Recuperado de: http://www.ugr.es/~jsalinas/bayes.htm

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD | Probabilidad Condicional: Dependiente e Independiente |

 INDEPENDIENTE

Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede, o no, tener un efecto en el resultado

del segundo. Esto es, los eventos pueden ser dependientes o independientes. En esta sección examinaremos

los eventos que son estadísticamente independientes, es decir, aquellos en donde la presentación

de uno no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de cualquier otro. Existen tres

tipos de probabilidades que se presentan bajo la independencia estadística:

1. Marginal.

2. Conjunta.

3. Condicional.

Probabilidades marginales bajo condiciones de independencia estadística

Como lo explicamos antes, una probabilidad marginal o incondicional es la probabilidad simple

de presentación de un evento. En el lanzamiento de una moneda no cargada, P(cara) = 0.5 y

P(cruz)=0.5, esto es, la probabilidad de obtener cara es igual a 0.5 y la probabilidad de obtener cruz

es igual a 0.5. Esto es cierto para cada lanzamiento, no importa cuántas veces se lance la moneda o

cuáles hayan sido los resultados anteriores. Cada lanzamiento de la moneda es único y no hay manera

de conectarlo con ningún otro. En consecuencia, el resultado de cada lanzamiento de una moneda

es un evento estadísticamente independiente de los resultados de cualquier otro lanzamiento de

ella.

Imagine que tenemos una moneda que ha sido alterada de tal modo que en el 90% de los lanzamientos

se obtengan caras y en el restante 10% se obtengan cruces. En cada lanzamiento individual,

P(cara) = 0.90 y P(cruz) = 0.10. El resultado de cualquier lanzamiento particular no está relacionado

en lo absoluto con los resultados de lanzamientos previos o futuros. También los resultados de varios

lanzamientos de esta moneda son estadísticamente independientes, aunque esté cargada.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística

La probabilidad de que dos o más eventos independientes se presenten juntos o en sucesión es el producto

de sus probabilidades marginales. Matemáticamente lo escribimos como:

en la que:

• P(AB) = probabilidad de que los eventos A y B se presenten juntos o en sucesión; se le conoce

como probabilidad conjunta

• P(A) = probabilidad marginal de que se presente el evento A

• P(B) = probabilidad marginal de que se presente el evento B.

En términos del ejemplo de la moneda no cargada, la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos

sucesivos es la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento (que llamaremos

H1) multiplicada por la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento (H2). Es decir,

P(H1H2) = P(H1) = P(H2). Hemos mostrado que los eventos son estadísticamente independientes

porque la probabilidad de cualquier resultado no se ve afectada por ninguno de los resultados anteriores.

Por consiguiente, la probabilidad de obtener cara en cualquier lanzamiento es de 0.5, y

P(H1H2) = 0.5 = 0.5 = 0.25. Por tanto, la probabilidad de obtener cara en dos lanzamientos sucesivos

es de 0.25.

Del mismo modo, la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos consecutivos es

P(H1H2H3) = 0.5 = 0.5 = 0.5 = 0.125.

Suponga a continuación que vamos a lanzar una moneda alterada que tiene P(cara) = 0.8 y

P(cruz) = 0.2. Los eventos (resultados) son independientes, pues las probabilidades en cualquier lanzamiento

son iguales siempre: los lanzamientos individuales están completamente separados y no

afectan de ninguna manera a ningún otro resultado o lanzamiento. Suponga que nuestra pregunta es,

“¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras en tres lanzamientos sucesivos? Utilizamos la ecuación

 y se obtiene que:

P(H1H2H3) = P(H1) * P(H2) * P(H3) = 0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.512

Preguntémonos ahora la probabilidad de obtener tres cruces (que indicaremos con la literal T) en tres

lanzamientos consecutivos:

P(T1T2T3) = P(T1) * P(T2) * P(T3) = 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.008

Observe que estas dos probabilidades no suman 1, debido a que los eventos H1H2H3 y T1T2T3 no

constituyen una lista colectivamente exhaustiva. Son mutuamente excluyentes, porque si uno de

ellos se presenta, los otros no.

Podemos hacer todavía más explícitas las probabilidades de los eventos si utilizamos un árbol de

probabilidad. En la figura  se presenta un árbol de probabilidad que muestra los resultados posibles

y su respectiva probabilidad para un lanzamiento de una moneda no cargada.

Probabilidades condicionales bajo independencia estadística

Hasta este punto, hemos considerado dos tipos de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondicional) y la probabilidad conjunta. Simbólicamente, la probabilidad marginal es P(A) y la probabilidad conjunta es P(AB). Además de estas dos, existe otro tipo de probabilidad, conocido como probabilidad condicional. Simbólicamente, la probabilidad condicional se escribe como:

La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer

evento (A) ya ha ocurrido. Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda el evento B dado que el evento A se ha presentado es simplemente la probabilidad del evento B:

A primera vista, esto parecería ser contradictorio. Recuerde, sin embargo, que por definición, un

evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocurrencia del resto de los eventos. De hecho, la independencia estadística se define simbólicamente como la condición en la cual se cumple que P(B|A) = P(B).

Podremos entender mejor la probabilidad condicional si resolvemos un problema ilustrativo.

Nuestra pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se

obtenga cara, dado que el resultado del primero fue cara? Simbólicamente, lo anterior se escribe

como P(H1 |H2). Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento

no tiene absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de obtener

cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento, la probabilidad de obtener

cara en el segundo lanzamiento es de 0.5. Por tanto, debemos decir que P(H1 |H2) = 0.5.

DEPENDIENTE

La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento depende

o se ve afectada por la presentación de algún otro. Exactamente igual que con los eventos

dependientes, los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son:

1. Condicional.

2. Conjunta.

3. Marginal.

Probabilidad condicional bajo dependencia estadística

Las probabilidades condicional y conjunta bajo condiciones de dependencia estadística son más

complicadas que la probabilidad marginal en estas mismas circunstancias. Analizaremos primero las

probabilidades condicionales, debido a que el concepto de probabilidad conjunta se ilustra mejor si

utilizamos la probabilidad condicional como base.

Suponga que tenemos una caja que contiene 10 bolas distribuidas de la siguiente manera:

• Tres son de color y tienen puntos

• Una es de color y tiene franjas

• Dos son grises y tienen puntos

• Cuatro son grises y tienen franjas

La probabilidad de sacar cualquiera de las bolas es de 0.1, ya que existen 10 bolas con igual probabilidad de ser elegidas.

Ejemplo: Suponga que una persona saca de la caja una bola de color, ¿cuál es la probabilidad de

que ésta tenga puntos? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga franjas?

Solución Esta pregunta puede expresarse simbólicamente como P(D|C) o ¿cuál es la probabilidad

condicional de que la bola tenga puntos (D), dado que es de color (C)?

Se nos ha dicho que la bola que se sacó es de color. Por tanto, para calcular la probabilidad de que

tenga puntos, ignoraremos a todas las bolas grises y nos concentraremos exclusivamente en las de

color. A partir del planteamiento del problema, sabemos que hay cuatro bolas de color, tres de las cuales tienen puntos y la que queda tiene franjas. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar las probabilidades sencillas de que la bola tenga puntos y de que tenga franjas. Para hacerlo dividimos el

número de bolas de cada categorías entre el número total de bolas de color.

En otras palabras, tres cuartos de las bolas de color tienen puntos y un cuarto tienen franjas. Así pues,

la probabilidad de sacar una bola con puntos, dado que ésta es de color, es de 0.75. De forma parecida,

la probabilidad de obtener una bola con franjas, dado que ésta es de color, es de 0.25.

Ahora podemos ver cómo nuestro razonamiento nos permitirá desarrollar una fórmula para calcular

la probabilidad condicional bajo dependencia estadística. Primero, podemos asegurarnos a nosotros

mismos que tales eventos son estadísticamente dependientes si observamos que el color de las

bolas determina la probabilidad de que éstas tengan puntos o franjas. Por ejemplo, es más probable

que una bola gris tenga franjas que una bola de color. Como el color afecta la probabilidad de que la

bola tenga puntos o franjas, estos eventos son dependientes.

Para calcular la probabilidad de obtener una bola con puntos dado que es de color, P(D|C), dividimos

la probabilidad de que la bola sea de color y tenga puntos (tres de 10, es decir 0.3) entre la

probabilidad de que la bola sea de color (cuatro de 10, es decir, 0.4):

Expresada como una fórmula general y utilizando las letras A y B para representar los dos eventos,

la ecuación queda:

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de dependencia estadística

Hemos mostrado que la fórmula para calcular la probabilidad condicional bajo dependencia estadística

es: 

Si de esta ecuación despejamos P(BA) mediante una multiplicación, obtendremos la fórmula para la

probabilidad conjunta bajo condiciones de dependencia estadística:

Observe que esta fórmula no es P(BA) = P(B)* P(A), como sería el caso si estuviéramos en condiciones de independencia estadística.

Aplicando la fórmula general P(BA) = P(B|A) * P(A) a nuestro ejemplo y en términos de bolas

de color (C), grises (G), con puntos (D) y con franjas (S), tendremos P(CD) = P(C|D) * P(D) o

P(CD) = 0.6 * 0.5 = 0.3. Aquí, 0.6 es la probabilidad de obtener una bola de color, dado que ésta

tiene puntos (calculada en el ejemplo 3 anterior) y 0.5 es la probabilidad de obtener una bola con

puntos (también calculada en el ejemplo 3).

El resultado, P(CD) = 0.3, puede verificarse, en la que llegamos a la probabilidad

por inspección: tres bolas de 10 son de color y con puntos.

Las probabilidades conjuntas siguientes están calculadas de la misma manera y se pueden comprobar

Probabilidades marginales bajo condiciones de dependencia estadística

Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la suma

de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. En

el ejemplo anterior, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la

suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color:

De manera parecida, la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris:

Igualmente, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la suma

de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos:

Y, por último, la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la suma

de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas:

Referencias: Levin - Rubin -Balderas  - Del Valle - Gomez, 2004, Estadística para Economía y Administración, Mexico, Prentice Hall.